送交者: 思童 于 北京时间 07/13/2008 (攻击期间计数暂停) [累积78800分 给思童发悄悄话]
主题：评：四维方体——一维思维（一）
[博讯(博客)文坛评论] 对于四维的情况，此文给出了一个比较直观的示意图。而对于更多维数的空间，直观图形是很难做出的，但是正如该文所说的，借助于类比，我们应该能够理解。
对于一般情况，思考的路子如下，在欧氏空间（也就是平坦的平直的），是用直角坐标系来描述的，比如说，在一维坐标系——一条直线上建立的一根数轴x，可以描述一维空间，一维空间上的点，只需要一个数x就能表示；二维空间里的点，可用二维（平面）直角坐标系上的一个数对（x，y）表示，类似的，三维空间里的点可用三维直角坐标系上的三元数组（x，y，z）表示……所以对于n维空间，可以用n维直角坐标系的n元数组（x1，x2，...，xn）表示。
考察n维超级正方体，还是从低维开始，对于2维空间（平面），我们把一个边长为1的正方形（2维正方体）的一个顶点放到平面坐标系坐标原点(0,0)，两个邻边与坐标轴重合另外3点的坐标分别为(0,1),(1,0),(1,1)这四个点的坐标恰好构成2进制的前四个数：00，01，10，11；同理，一个正方体顶点与3维直角坐标系原点重合，三条棱与坐标轴重合，所有顶点的坐标同样构成2进制数：000，001，010，011，100，101，110，111，表示正方体有8个顶点。类似的，n维空间的一个单位超级正方体，顶点个数为2的n次方：2^n.
再看棱数，3维正方体每个顶点是3条棱的交汇点，推测n维正方体每个顶点是n条棱的交汇点，也就是说，每个顶点对应着n条棱，因此在不考虑别的因素的情况下，一个n维正方体的棱数=顶点数×n，但是注意到，每条棱都有两个端点——超级正方体的顶点，因此正确的结果应该把以上数值除以2，即，超级正方体棱数=顶点数×n/2，也就是 棱数=（n×2^n）/2.
最后再看面数，思路类似：每个顶点对应着n条棱，这个点也可看成是由若干个面交汇而成的，从这个点出发，任意2条棱构成一个面，因此一个点对应的面数是：从n条棱中每次挑选出2条棱的组合数=n(n-1)/2（组合数公式），因此在不考虑别的因素的情况下，一个n维正方体的面数=顶点数×组合数；注意到每个面对应着4个顶点，于是真实的面数应该是上述数值再除以4，即：面数=顶点数×组合数/4=（2^n）×[n(n-1)/2]/4=
n(n-1)2^(n-3)。
以上推导所用到的数学知识不超过中学的。
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